Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, ich begrüße Sie. Wir haben ja jetzt schon einiges über die mehrdimensionale Integration

gesehen und andererseits wissen Sie auch, dass es dann im weiteren Teil der Vorlesungen um

Differentialgleichungen geht. Um das Ganze zu motivieren, bringe ich mal ein mechanisches

Beispiel. Sie haben so eine quadratische Platte, wie hier das Schild so in der Art und hängen

das auf, also zum Beispiel mit einem Nagel und dann lassen sie es pendeln und dann stellen wir

die Bewegungsgleichung dafür auf. Um das zu machen, muss man auch diverse mehrdimensionale

Integrale lösen und am Ende kommt man dann zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung. Die

kennen Sie sicher auch schon und das können Sie wahrscheinlich auch selber machen, aber ich schreibe

es trotzdem mal hin, damit Sie die Verbindung auch mal sehen. Das sind ja wirklich mechanische

Alltagsprobleme. Also der Einfachheit halber betrachten wir jetzt eine Quadratscheibe.

Die hat eine gewisse Masse, also zieht die Gewichtskraft nach unten,

der Kraft M mal G und die ist irgendwo aufgehängt, ist im Punkt A mittels einer Achse drehbar gelagert.

Und die Achse steht senkrecht zu der Scheibe, also wie so ein Nagel, den man ganz senkrecht

in die Wand schlägt. Also das ist unser System und man kann ja dann diese Platte drehen und wenn man

das System auf diese Weise auslängt und dann loslässt, dann wird sich irgendeine Bewegung

einstellen und es geht jetzt darum die Bewegungsgleichung aufzustellen. Das ist ja eine gewöhnliche

Differentialgleichung. Das System wird ausgelenkt, wie bewegt es sich weiter.

Durch die Auslenkung kennt man dann den Anfangszustand und danach geht ja alles

deterministisch weiter. Wir machen mal eine kleine Skizze. Also hier oben ist der Punkt

A, wo das ganze befestigt ist und hier haben wir dann unsere quadratische Scheibe. Ich nenne

die Seitenlänge mal klein A und die Position dieses Quadrates können wir dann durch einen

Winkel beschreiben, einen Auslenkungswinkel. Hier geht es erstmal nach unten. Diese Scheibe,

dieses Quadrat hat ja einen Schwerpunkt S, den kann man hier leicht bestimmen und da greift

dann eine Kraft an. Die Gewichtskraft, M, A, G, die wirkt ja an sich senkrecht nach unten

und durch die Auslenkung, Phi, wird dann nur ein Teil hier in der Richtung dieses Hebelarms

aufgenommen und der andere Teil erzeugt einen Drehmoment. Diese Gewichtskraft zerlegt man

und dann hat man hier den Teil, der orthogonal auf diesem ausgelenkten Arm steht, das ist

dann M mal G mal Sinus Phi und die Länge dieser Strecke, also der Abstand des Schwerpunkt

vom Drehpunkt ist gerade A mal Wurzel zweieinhalb, das ist sozusagen der Hebelarm. Dann nehme

ich noch eine andere Farbe. Das ist ja eine Drehbewegung, die hier ausgeführt wird und

die wird verursacht durch das Drehmoment und das Drehmoment ist das Produkt aus dieser

Länge A mal Wurzel zweieinhalb und dem Anteil der Schwerkraft, der orthogonal dazu wirkt,

das ist M mal G mal Sinus Phi. Und mit diesem Momentensatz kann man leicht die entsprechende

gewöhnliche Differentialgleichung hinschreiben. Die sieht so aus, Tete A mal Phi zwei Strich

von T, das ist die zweite Zeitableitung, ist gleich Minus A mal Wurzel zweieinhalb. Das

Minuszeichen kommt, weil ja die Kraft als Rückstellkraft wirkt und der Drehbewegung

entgegenwirkt und dann kommt M mal G mal Sinus von Phi von T. Das ist die Kraft orthogonal

zu diesem ausgelenkten Abstand von dem Drehpunkt. Das sollten Sie kennen, das ist der Momentensatz.

Also im Sinne der Punktmechanik wird hier nur der Schwerpunkt S bewegt und zwar eben

durch dieses Moment. Aber diese Zahl Tete A, die enthält die Information über die Form

des Quadrats, das ist nämlich das Massenträgheitsmoment und das ist ja auch ein Integral. Und jetzt

kommt das Integral ins Spiel. Hier bei unserem Beispiel ist ja der Körper ein Rechteck, also

ein zweidimensionales Intervall. Das können wir also ganz einfach mit unserer Theorie

des Riemann Integrals integrieren und so das Massenträgheitsmoment ausrechnen. Dabei ist

Tete A das Massenträgheitsmoment. Und damit da eine Masse ins Spiel kommt, führen wir

noch eine dicke dieser Scheibe, kleinen T, ein. Scheiben dicke, kleinen T und eine dichte

roh. Die soll aber homogen sein, diese Scheibe, das heißt T und roh sind hier sowieso nur

Faktoren. Erhält man jetzt die Formel für Tete A, das ist das Integral von 0 bis klein

a, vom Integral von 0 bis klein a. Dann kommt das Quadrat des Abstandes zu dem Drehpunkt,